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Muster nachweis

“In dem Buch geht es darum, wie man Inkenntnisse in Mathematik lernt. … Das Buch zielt im Grunde darauf ab, dem Leser die Grundlagen zu vermitteln, wie Beweise in mehreren Bereichen der Mathematik durchgeführt werden. … Wenn Sie ein Student sind und mehr über Beweise und wie Beweise gebaut und in mehreren Bereichen der Mathematik verwendet werden wollen, dann ist dieses Buch für Sie. Ich hoffe, Sie genießen und dass Sie ein Meister in Beweisen werden können!” (Philosophie, Religion und Wissenschaft, Juni 2016) Dieses innovative Lehrbuch führt einen neuen musterbasierten Ansatz für Lernbeweismethoden in den mathematischen Wissenschaften ein. Die Leser werden Techniken entdecken, die es ihnen ermöglichen, neue Beweise in verschiedenen Bereichen der reinen Mathematik mit Leichtigkeit zu lernen. Die Muster in Proofs aus verschiedenen Bereichen wie Algebra, Analyse, Topologie und Zahlentheorie werden erforscht. Zu den untersuchten Themen gehören Spieltheorie, Kombinatorik und euklidische Geometrie, die eine breite Vertrautheit ermöglicht. Tatsächlich stellt der Autor fest, dass sein eigener Ansatz für den Kurs “Übergang zu Beweisen” darin besteht, einen musterbasierten Ansatz anzubieten, damit die Schüler lernen können, den Einsatz bestimmter Ideen in vielen mathematischen Fächern zu erkennen. Dies scheint in den ersten Kapiteln (“Induktion”, “Doppelzählung”, “Das Taubenlochprinzip”) gut zu funktionieren, ist aber in den letzteren weniger nützlich (z.B. “Lineare Abhängigkeit, Felder und Transzendenz”), wo Techniken und Themen ziemlich eng miteinander verbunden sind.

Aber richtig oder falsch, dieses neue Modell hat Mathematiker produktiv über elliptische Kurven denken. Wenn das Modell wirklich die Wahrheit widerspiegelt, könnte die Einsicht aus der Welt der Matrizen erklären, warum elliptische Kurven sich so verhalten, wie sie es tun. Wenn dies nicht der Fall ist, könnte es auch zu einem tieferen Verständnis des Problems führen, herauszufinden, warum elliptische Kurven nicht alle auf diese Weise modelliert werden können. Die Beweise, die wir sammeln, können uns auf die eine oder andere Weise näher an den Beweis heranführen. Die Zwillingsprimus-Vermutung ist ein Beispiel dafür, dass Beweise, so viel wie Beweise, unser mathematisches Denken leiten. Twin Primes sind Paare von Primzahlen, die sich durch 2 unterscheiden , z. B. 3 und 5, 11 und 13, und 101 und 103 sind alle zwei Prim-Paare. Die Zwillingsprimats-Vermutung enden davon, dass es kein größtes Paar Zwillingsprimierungen gibt, dass die Paare immer wieder erscheinen, während wir unseren Weg in Richtung Unendlichkeit auf der Zahlenlinie machen. Natürlich gibt es Muster, die 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 und so weiter gehen und jeden Begriff verdoppeln. Aber es gibt auch Muster, wie die maximale Anzahl von Regionen, die durch Verbindungspunkte auf einem Kreis gebildet werden, die 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99 und so weiter gehen.

Wenn wir die Sequenz 1, 2, 4, 8, 16 sehen, könnten wir denken, dass alle Beweise darauf hinweisen, dass der nächste Begriff 32 ist, aber es könnte etwas anderes sein. Die nächste Zahl muss 32 sein, oder? Das Muster ist klar: Um die nächste Zahl zu finden, verdoppeln Sie die aktuelle. Wir haben 1 x 2 = 2; 2 x 2 = 4; 4 x 2 = 8; 8 x 2 = 16. Die nächste Zahl sollte 16 x 2 = 32 sein. Wie viel mehr Beweise brauchen wir? Es gibt viel schöne Mathematik im Buch — Zahlentheorie, Kombinatorik, Diskrete Geometrie, Algebra, Set Theorie und Analyse. All dies ist natürlich auf einer ziemlich elementaren Ebene und wird durch Beweise hervorgehoben, die eine gewisse Cleverness in ihrer Konstruktion beinhalten. In dieser Hinsicht gibt es viele Überschneidungen mit einem Kurs, der zu einer Standardanforderung für Mathematik-Major an den meisten Institutionen geworden ist – die “Einführung in Proofs und Formal Mathe” Kurs, der oft vor einem ersten Kurs in Real Analysis. Die Mathematik hat eine lange Geschichte, in der wir den Erwartungen trotzten und uns zwangen, unsere Vorstellungskraft zu erweitern. Das ist ein Grund, warum Mathematiker nach Beweisen streben, nicht nur nach Beweisen. Es ist ein Beweis, der mathematische Wahrheit begründet. Alle verfügbaren Beweise könnten auf 32 als nächste Zahl in unserer Sequenz hinweisen, aber ohne einen Beweis können wir nicht sicher sein.

Eine der ersten Fragen, die ich bei der Rezension eines Buches stelle, ist ” Wer ist das beabsichtigte Publikum?” Selbst nachdem ich dieses kurze Buch (scheinbar) über Beweistechniken fertig gestellt hatte, stellte ich fest, dass ich diese Frage nicht zu meiner Zufriedenheit beantworten konnte.